高数B（上） - dk-qwq blog

1. 极限#

1.1 函数极限与无穷大#

定义：
若当 $x \to x_0$ 时， $f(x)$ 的值无限增大（或减小），记为

\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \quad \text{或} \quad -\infty

⚠️ 易错点：

无穷大是极限的一种发散形式

1.2 无穷小量等价替换#

当 $x \to 0$ 时，有以下常用等价无穷小：

\begin{aligned} &\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \\ &x \sim \ln(1 + x) \sim e^x - 1 \\ &\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} \\ &a^x - 1 \sim (\ln a)x \\ &1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \\ &(1 + x)^n - 1 \sim nx \end{aligned}

⚠️ 易错点：

只能用于乘除，不能随意用于加减

2. 连续性与间断点#

2.1 间断点分类#

类型	判定条件
可去间断点	左右极限存在且相等，但不等于函数值或函数值不存在
跳跃间断点	左右极限都存在但不相等
第二类间断点	左右极限至少有一个不存在

3. 导数与微分#

3.0 参数方程的导数公式#

\frac d {dx} (\frac {dy} {dx}) = \frac d {dt} (\frac {dy} {dx} / \frac {dx} {dt}) / \frac {dx} {dt}

3.1 基本恒等式#

\tan^2 x = \sec^2 x - 1

3.2 驻点与拐点#

驻点：
$f'(x)=0$ 的点，指的是 自变量 $x$
拐点：
$f''(x_0)=0$ 且凹凸性发生改变，对应点为 $(x_0,f(x_0))$

⚠️ 易错点：

$f''(x)=0$ 不一定是拐点（需凹凸性改变）

3.3 函数凹凸性#

\begin{cases} f''(x) > 0 \Rightarrow \text{凹函数} \\ f''(x) < 0 \Rightarrow \text{凸函数} \end{cases}

3.4 拉格朗日中值定理#

定理：
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使得

f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)

3.5 常见构造函数（中值定理 / 求导）#

\begin{aligned} f(x)+C &\Rightarrow f'(x)\\ xf(x)+C &\Rightarrow f(x)+xf'(x)\\ \frac{f(x)}{x}+C &\Rightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\\ e^x f(x)+C &\Rightarrow e^x(f+f')\\ e^{-x} f(x)+C &\Rightarrow e^{-x}(f'-f)\\ x^k f(x)+C &\Rightarrow kx^{k-1}f+x^k f'\\ \sin x f(x)+C &\Rightarrow \cos x f+\sin x f'\\ \cos x f(x)+C &\Rightarrow -\sin x f+\cos x f' \end{aligned}

4. 曲线的几何应用#

4.1 弧长公式#

直角坐标系：

s=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

参数方程：

s=\int_\alpha^\beta \sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt

4.2 曲率与曲率半径#

k=\left|\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}\right|,\qquad R=\frac1k

参数形式：

k=\frac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

5. 积分常用结论#

5.1 常见换元#

t = \tan\frac x 2

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2}{1+t^2}dt

5.2 极坐标下的面积公式#

极坐标方程：

\begin{cases} x = r(\theta)\cos\theta \\ y = r(\theta)\sin\theta \end{cases}

由曲线围成的面积为

A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta)\,d\theta

5.3 Wallis 公式（点火公式）#

\int_{0}^{\frac \pi 2} \sin^nx dx = \int_{0}^{\frac \pi 2} \cos^nx dx = \begin{cases} \frac {n-1}{n} \cdot \frac {n-3} {n-2} \cdot \cdot \cdot \cdot \frac {3} {4} \cdot \frac {1} {2} \cdot \frac {\pi} {2}\text{，} &n\text{为正偶数} \\ \frac {n-1}{n} \cdot \frac {n-3} {n-2} \cdot \cdot \cdot \cdot \frac {4} {5} \cdot \frac {2} {3} \cdot 1\text{，} &n\text{为正奇数} \end{cases}

5.4 常见不定积分#

\begin{aligned} \int \frac1{x^2\pm a^2}dx &= \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\\ \int \sec x\,dx &= \ln|\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc x\,dx &= \ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

6. 微分方程#

6.1 一阶齐次微分方程的换元#

形如

\frac{dy}{dx} = F\!\left(\frac{y}{x}\right)

令

u = \frac{y}{x}

则

\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}

从而将原方程化为关于 $u,x$ 的可分离变量方程。

6.2 二阶微分方程的降阶法#

当微分方程形如

y'' = f(y,y')

设

P = y'

则

y'' = \frac{dP}{dx} = \frac{dP}{dy}\frac{dy}{dx} = P\frac{dP}{dy}

原方程可化为

P\frac{dP}{dy} = f(y,P)

6.3 一阶线性微分方程#

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

通解：

y=e^{-\int P(x)dx}\left[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\right]

6.4二阶常系数线性微分方程#

0. 常系数线性微分方程的一般形式#

$n$ 阶常系数线性微分方程：

a_n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = f(x)

其中 $a_0,a_1,\dots,a_n$ 为常数， $f(x)$ 为已知函数。

1. 微分算子表示法#

记微分算子

D = \frac{d}{dx}

则有

\frac{dy}{dx} = Dy,\quad \frac{d^2 y}{dx^2} = D^2 y,\ \dots

定义算子多项式

L(D) = a_n D^n + a_{n-1} D^{n-1} + \cdots + a_1 D + a_0

原方程可简写为

L(D)(y) = f(x)

2. 二阶常系数齐次线性微分方程#

本课程中仅讨论二阶常系数线性微分方程：

y'' + p y' + q y = f(x)

齐次方程：

y'' + p y' + q y = 0

设特征方程：

L(r) = r^2 + pr + q = 0

根据特征根情况，通解为：

特征根情况	通解
$r_1 \neq r_2$ （两实根）	$y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$
$r_1=r_2$ （重根）	$y=(C_1+C_2 x)e^{r_1 x}$
$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

记该通解为 齐次通解 $y_0$ 。

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程#

非齐次方程：

y'' + p y' + q y = f(x)

基本结论：

\text{非齐通} = \text{齐通} + \text{非齐特} \qquad\Rightarrow\qquad y = y_0 + y_p

4. 常见右端形式与特解设法（待定系数法）#

（1）指数 × 多项式型#

f(x) = e^{\lambda x} C_n(x)

其中 $C_n(x)$ 为 $n$ 阶多项式。

设

y_p = x^k e^{\lambda x} Q_n(x)

$Q_n(x)$ ： $n$ 阶多项式
$k$ $k$ 的取值规则：
- 若 $L(\lambda)\neq 0$ ，则 $k=0$
- 若 $L(\lambda)=0$ ，则 $k=1$
- 若 $\lambda$ 是重根，则 $k=2$

（2）指数 × 三角函数型#

f(x)=e^{\lambda x}\bigl(P_n(x)\cos\beta x+P_m(x)\sin\beta x\bigr)

设

y_p=x^k e^{\lambda x}\bigl(R_c(x)\cos\beta x+S_c(x)\sin\beta x\bigr)

其中：

$c=\max\{n,m\}$
$k=0$ 或 $1$ ，由 $L(\lambda\pm i\beta)=0$ 是否成立决定

微分算子法（Differential Operator）——线性微分方程的利器#

记

Dy = D(y) = y' \qquad \frac{1}{D} = \int \, dx

性质#

若 $F(b)\neq 0$ ，则 $\frac{1}{F(D)} e^{bx} = \frac{1}{F(b)} e^{bx}$
若 $F(D) = (D-a)(D-b)$ ，则 $\frac{1}{F(D)} f(x) = \frac{1}{D-a}\,\frac{1}{D-b}\,f(x)$
指数平移性质：
$\frac{1}{F(D)}\bigl(u(x)e^{kx}\bigr) = e^{kx}\,\frac{1}{F(D+k)}u(x)$
线性性质：
$\frac{1}{F(D)}[f_1(x)+f_2(x)] = \frac{1}{F(D)}f_1(x) + \frac{1}{F(D)}f_2(x)$
当
$F(D)=D-k$
时，有展开式
$\frac{1}{F(D)}x^a = \sum_{i=0}^{+\infty}\frac{-D^i}{k^{i+1}}\,x^a = \left( -\frac{1}{k} -\frac{D}{k^2} -\cdots -\frac{D^a}{k^{a+1}} \right)x^a$

1. 极限#

1.1 函数极限与无穷大#

1.2 无穷小量等价替换#

2. 连续性与间断点#

2.1 间断点分类#

3. 导数与微分#

3.0 参数方程的导数公式#

3.1 基本恒等式#

3.2 驻点与拐点#

3.3 函数凹凸性#

3.4 拉格朗日中值定理#

3.5 常见构造函数（中值定理 / 求导）#

4. 曲线的几何应用#

4.1 弧长公式#

4.2 曲率与曲率半径#

5. 积分常用结论#

5.1 常见换元#

5.2 极坐标下的面积公式#

5.3 Wallis 公式 （点火公式）#

5.4 常见不定积分#

6. 微分方程#

6.1 一阶齐次微分方程的换元#

6.2 二阶微分方程的降阶法#

6.3 一阶线性微分方程#

6.4二阶常系数线性微分方程#

0. 常系数线性微分方程的一般形式#

1. 微分算子表示法#

2. 二阶常系数齐次线性微分方程#

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程#

4. 常见右端形式与特解设法（待定系数法）#

（1）指数 × 多项式型#

（2）指数 × 三角函数型#

微分算子法（Differential Operator）——线性微分方程的利器#

性质#

5.3 Wallis 公式（点火公式）#