高数B - 常用积分表及 trick

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这部分内容大量使用 ai 完成，只验证了部分内容

一、常用基本积分表#

说明：以下不定积分公式均已默认省略任意常数 $+ C$ 。

1. 幂函数与有理分式#

序号	被积函数 $f(x)$	不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$	补充说明
1	$x^a$	$\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}$	$a \neq -1$
2	$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x \rvert$	$x \neq 0$
3	$\dfrac{1}{a^2 + x^2}$	$\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$	$a > 0$
4	$\dfrac{1}{x^2 - a^2}$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert$	裂项积分常用
5	$\dfrac{1}{a^2 - x^2}$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{a+x}{a-x}\right\rvert$	注意正负号区分
6	$\dfrac{x}{a^2 \pm x^2}$	$\pm \dfrac{1}{2}\ln\lvert a^2 \pm x^2 \rvert$	凑微分法 $x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)$

2. 含有二次根式的无理函数#

序号	被积函数 $f(x)$	不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$	常用换元思路
1	$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\arcsin\left(\dfrac{x}{a}\right)$	令 $x = a\sin\theta$
2	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$	$\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$	令 $x = a\tan\theta$ 或双曲代换
3	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$	$\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 - a^2}\right\rvert$	令 $x = a\sec\theta$
4	$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \dfrac{a^2}{2}\arcsin\left(\dfrac{x}{a}\right)$	几何意义为圆的扇形与三角形面积
5	$\sqrt{x^2 \pm a^2}$	$\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \dfrac{a^2}{2}\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right\rvert$	分部积分法推导

3. 三角函数与反三角函数#

序号	被积函数 $f(x)$	不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$	等价形式 / 技巧
1	$\sin x$	$-\cos x$	基础公式
2	$\cos x$	$\sin x$	基础公式
3	$\tan x$	$-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\lvert\sec x\rvert$	凑微分 $\frac{\sin x}{\cos x}$
4	$\cot x$	$\ln\lvert\sin x\rvert$	凑微分 $\frac{\cos x}{\sin x}$
5	$\sec x$	$\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$	等价于 $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$
6	$\csc x$	$\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$	等价于 $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right\rvert$
7	$\sec^2 x$	$\tan x$	基础导数逆运算
8	$\csc^2 x$	$-\cot x$	基础导数逆运算
9	$\sec x \tan x$	$\sec x$	基础导数逆运算
10	$\csc x \cot x$	$-\csc x$	基础导数逆运算
11	$\sec^3 x$	$\dfrac{1}{2}\sec x \tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$	分部积分经典循环项
12	$\arcsin x$	$x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$	分部积分法
13	$\arctan x$	$x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$	分部积分法

4. 指数与对数函数#

序号	被积函数 $f(x)$	不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$	备注
1	$e^x$	$e^x$	自然指数
2	$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$	$a > 0, a \neq 1$
3	$\ln x$	$x\ln x - x$	分部积分： $\int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
4	$x e^{ax}$	$\dfrac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1)$	表格分部积分典型算例

5. 常用定积分速算公式（Wallis / 点火公式）#

设 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,\mathrm{d}x$ ：

I_n = \begin{cases} \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数} \\[2ex] \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为大于 1 的奇数} \end{cases}

对称区间推广：

$\int_0^{\pi} \sin^n x\,\mathrm{d}x = 2 I_n$
$\int_0^{2\pi} \lvert\sin^n x\rvert\,\mathrm{d}x = 4 I_n$

二、常用积分技巧（Tricks）#

1. 三角代换（Trig Substitution）#

遇到二次根式时消去根号的设定：

$\sqrt{a^2 - x^2}$ ：令 $x = a\sin\theta$ （利用 $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ ）
$\sqrt{a^2 + x^2}$ ：令 $x = a\tan\theta$ （利用 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ ）
$\sqrt{x^2 - a^2}$ ：令 $x = a\sec\theta$ （利用 $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ ）

2. 倒代换（Reciprocal Substitution）#

适用场景：分母次数明显高于分子，或根号外部含有 $x^k$ 高次项（例如 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4\sqrt{1+x^2}}$ ）。
操作：令 $x = \dfrac{1}{t}$ ，则 $\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{t^2}\,\mathrm{d}t$ 。可将根式内部的 $x$ 提至分子，大幅降低分母次数。

3. 区间反折法（King’s Property）#

定积分极强性质，基于变量代换 $x \to a + b - x$ ：

I = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(a + b - x)\,\mathrm{d}x

两式相加：

2I = \int_a^b \Big[ f(x) + f(a + b - x) \Big]\,\mathrm{d}x

经典对称模型： $\int_a^b \frac{g(x)}{g(x) + g(a+b-x)}\,\mathrm{d}x = \frac{b - a}{2}$
奇偶化简推论： $\int_0^\pi x f(\sin x)\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x)\,\mathrm{d}x$

4. 表格分部积分法（Tabular Integration）#

适用于 $\int P(x) g(x)\,\mathrm{d}x$ ，其中 $P(x)$ 为多项式， $g(x)$ 为易于连续积分的函数（如 $e^{ax}, \sin ax, \cos ax$ ）：

符号	对 $P(x)$ 连续求导 (D)	对 $g(x)$ 连续积分 (I)
$+$	$P(x)$	$g(x)$
$-$	$P'(x)$	$\int g(x)\,\mathrm{d}x$
$+$	$P''(x)$	$\iint g(x)\,\mathrm{d}x^2$
$\dots$	$\dots$ 直至导数为 0	$\dots$

求和规则：沿对角线交叉相乘（ $\text{符号} \times D_k \times I_{k+1}$ ）求和即可直接得出结果，省去繁琐的多步书写。

5. 配对系统法（Pairing Trick）#

当单个积分难以独立求解时，构造对称伴随积分联立求解：

例：求 $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x$ 与 $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x$ ： $\begin{cases} I + J = \int 1\,\mathrm{d}x = x + C_1 \\[1.5ex] J - I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sin x + \cos x\rvert + C_2 \end{cases}$ 联立相加减即可直接解出 $I$ 与 $J$ 。

6. 万能代换与对称简化（Weierstrass Substitution）#

标准万能代换：令 $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$ ，则： $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \mathrm{d}x = \frac{2}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$
降次优化：若被积函数满足 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$ （偶次同号），改用 $t = \tan x$ 可直接省去半角降次过程： $\sin^2 x = \frac{t^2}{1 + t^2}, \quad \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2}, \quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2}$

7. 遮蔽法（Heaviside Cover-up Method）#

用于真分式部分分式分解时的系数秒杀。对于无重根分母：

\frac{P(x)}{(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_k)} = \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{x - x_2} + \dots + \frac{A_k}{x - x_k}

求系数 $A_i$ 时，在原式左侧遮住因子 $(x - x_i)$ ，其余项代入 $x = x_i$ ：

A_i = \lim_{x \to x_i} \frac{P(x)}{\prod_{j \neq i}(x - x_j)}

8. 费曼积分法（含参变量积分号下求导）#

处理带有阻碍项（如分母有 $x$ ）的定积分：

引入参数：构造含参积分 $I(\alpha) = \int_a^b f(x, \alpha)\,\mathrm{d}x$ 。
求导消项： $I'(\alpha) = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha} f(x, \alpha)\,\mathrm{d}x$ 利用对参数 $\alpha$ 求导对消分母中的奇异项 $x$ 。
完成求积：求出 $I'(\alpha)$ 的初等表达式。
积分还原：对 $\alpha$ 积分得到 $I(\alpha) + C$ ，代入初值 $\alpha_0$ 确定积分常数。

复指数函数求解含三角函数的积分#

基本原理#

实部 $\Re$ 和虚部 $\Im$ 算子是实线性映射。要让求虚部与积分交换次序，即：

\int_a^b \Im\big(f(x)\big) \, dx = \Im\left(\int_a^b f(x) \, dx\right)

本质上是线性算子与积分（极限）能否交换次序的问题。满足以下任一条件即可：

有限区间上的常规黎曼积分：只要复值函数 $f(x) = u(x) + i v(x)$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积，其本质定义就是：

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b u(x) \, dx + i \int_a^b v(x) \, dx

根据定义，直接恒等成立。

无穷区间或瑕积分（反常积分）：因为反常积分本质是取极限（如 $\lim_{A \to \infty} \int_0^A$ ），若复积分 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 收敛（最稳妥的是绝对收敛，即 $\int_a^\infty \vert{}f(x)\vert{} \, dx < \infty$ ），则极限与连续映射 $\Im$ 可以交换：

\int_a^\infty \Im(f) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_a^A \Im(f) \, dx = \lim_{A \to \infty} \Im\left(\int_a^A f \, dx\right) = \Im\left(\lim_{A \to \infty}\int_a^A f \, dx\right) = \Im\left(\int_a^\infty f \, dx\right)

测度论与勒贝格积分视角：若 $f \in L^1([a, \infty))$ （即模长勒贝格可积），直接由勒贝格积分对实部、虚部分解的线性定义即可交换。

反例（不可直接交换的情况）：

若复积分本身发散，或者虚部、实部的反常积分仅在柯西主值意义下存在，极限不满足收敛性条件时不可随意交换。例如当 $\alpha \le 0$ 时， $\int_0^\infty e^{(i-\alpha)x} dx$ 发散，此步骤不再成立。

例题#

设实数 $\alpha > 0$ ，计算积分：

I = \int_0^{\infty} \sin x e^{- \alpha x}\,\mathrm{d} x

利用欧拉公式 $sin x = \Im \left( e^{ix} \right)$ （ $\Im$ 表示取复数的虚部）：

\begin{align*} I = \int_0^{\infty} \sin x e^{- \alpha x}\,\mathrm{d} x = \int_0^{\infty} \Im(e^{ix}) e^{- \alpha x}\,\mathrm{d} x \end{align*}

$\Im$ 的含义：表示取复数的虚部（ $\text{Im}$ ，LaTeX 中记作 \Im）。

由于虚部运算与对实变量 $x$ 的积分可交换次序（假设实数 $\alpha > 0$ ）：

I = \Im \left( \int_0^{\infty} e^{(i - \alpha)x}\,\mathrm{d} x \right) = \Im \left( \left[ \frac {e^{(i - \alpha)x}} {i - \alpha} \right]_{x = 0}^{\infty} \right)

计算积分

\begin{align*} \left[ \frac {e^{(i - \alpha)x}} {i - \alpha} \right]_{x = 0}^{\infty} &= \lim_{x \to \infty} \frac {e ^ {ix} e ^ {- \alpha x} } {i - \alpha} - \frac {e^{(i - \alpha) \cdot 0}} {i - \alpha} \\ &= 0 - \frac {1} {i - \alpha} = -\frac {1} {i - \alpha} \end{align*}

I = \Im \left( \frac 1 {\alpha - i} \right) = \Im \left( \frac {\alpha + i} {\alpha^2 + 1} \right) = \frac{1}{\alpha^2 + 1}

费曼积分法#

莱布尼茨积分法则#

F(x, a(x), b(x)) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x)\,\mathrm{d}t

\begin{aligned} \frac{d}{dx} F(x, a(x), b(x)) &= \left( \frac{\partial F}{\partial b} \right) \frac{db}{dx} + \left( \frac{\partial F}{\partial a} \right) \frac{da}{dx} + \frac{\partial F}{\partial x} \\ &= f(x, b(x)) b'(x) - f(x, a(x)) a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt \end{aligned}

若积分上下限均为常数，则可以直接简化为直接交换积分和求导顺序：

\frac{d}{dx} \int_a^b f(t, x)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x} f(t, x)\,\mathrm{d}t

核心思想#

构造含参积分 $I(\alpha)$ ，使得目标积分为某个特定参数值（如 $\alpha = 0$ 或 $\alpha = 1$ ），且存在一个极易计算的基准初值，用于确定积分常数（通常为 $I(0) = 0$ 或 $\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = 0$ ）。
在积分号下对参数 $\alpha$ 求导，消去原积分中难以处理的项（如分母中的 $x$ 或根号），得到一个更易计算的积分。
完成简化后的单变量积分，得到导函数 $I'(\alpha)$ 的闭式表达式。
对 $\alpha$ 积分得到 $I(\alpha)$ 的表达式，并代入初值确定积分常数，最终得到原积分的结果。

示例#

计算积分：

\int_0^\infty \frac{\sin x} {x} \, dx

构造收敛因子 $e^{-\alpha x}$ ：

I(\alpha) = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} e^{-\alpha x} \, dx

原式等价于 $I(0)$ 。

I'(\alpha) = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{\sin x}{x} e^{-\alpha x} \right) \, dx = -\int_0^\infty \sin x e^{-\alpha x} \, dx

由复指数函数求解含三角函数的积分处例题可知：

I'(\alpha) = -\frac{1}{\alpha^2 + 1}\\

对其积分得

I(\alpha) = \int -\frac{1}{\alpha^2 + 1} \, d\alpha = -\arctan(\alpha) + C

为了确定常数 $C$ ，考虑 $\alpha \to \infty$ 时，积分 $I(\alpha)$ 的取值：

从定义：
$\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = \lim_{\alpha \to \infty} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} e^{-\alpha x} \, dx = 0$
从积分表达式：
$\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = \lim_{\alpha \to \infty} \left( -\arctan(\alpha) + C \right) = -\frac{\pi}{2} + C$

故 $C = \dfrac \pi 2$

\text{原式} = I(0) = -\arctan(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}

小工具

一、 常用基本积分表#

1. 幂函数与有理分式#

2. 含有二次根式的无理函数#

3. 三角函数与反三角函数#

4. 指数与对数函数#

5. 常用定积分速算公式（Wallis / 点火公式）#

二、 常用积分技巧（Tricks）#

1. 三角代换（Trig Substitution）#

2. 倒代换（Reciprocal Substitution）#

3. 区间反折法（King’s Property）#

4. 表格分部积分法（Tabular Integration）#

5. 配对系统法（Pairing Trick）#

6. 万能代换与对称简化（Weierstrass Substitution）#

7. 遮蔽法（Heaviside Cover-up Method）#

8. 费曼积分法（含参变量积分号下求导）#

复指数函数求解含三角函数的积分#

基本原理#

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