1. 幂函数与有理分式#

2. 含有二次根式的无理函数#

3. 三角函数与反三角函数#

4. 指数与对数函数#

5. 常用定积分速算公式（Wallis / 点火公式）#

设 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,\mathrm{d}x$：

对称区间推广：

• $\int_0^{\pi} \sin^n x\,\mathrm{d}x = 2 I_n$
• $\int_0^{2\pi} \lvert\sin^n x\rvert\,\mathrm{d}x = 4 I_n$

1. 三角代换（Trig Substitution）#

遇到二次根式时消去根号的设定：

• $\sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = a\sin\theta$（利用 $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$）
• $\sqrt{a^2 + x^2}$：令 $x = a\tan\theta$（利用 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$）
• $\sqrt{x^2 - a^2}$：令 $x = a\sec\theta$（利用 $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$）

2. 倒代换（Reciprocal Substitution）#

• 适用场景：分母次数明显高于分子，或根号外部含有 $x^k$ 高次项（例如 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4\sqrt{1+x^2}}$）。
• 操作：令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 $\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{t^2}\,\mathrm{d}t$。可将根式内部的 $x$ 提至分子，大幅降低分母次数。

3. 区间反折法（King’s Property）#

定积分极强性质，基于变量代换 $x \to a + b - x$：

两式相加：

• 经典对称模型： $$\int_a^b \frac{g(x)}{g(x) + g(a+b-x)}\,\mathrm{d}x = \frac{b - a}{2}$$
• 奇偶化简推论： $$\int_0^\pi x f(\sin x)\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x)\,\mathrm{d}x$$

4. 表格分部积分法（Tabular Integration）#

适用于 $\int P(x) g(x)\,\mathrm{d}x$，其中 $P(x)$ 为多项式，$g(x)$ 为易于连续积分的函数（如 $e^{ax}, \sin ax, \cos ax$）：

• 求和规则：沿对角线交叉相乘（$\text{符号} \times D_k \times I_{k+1}$）求和即可直接得出结果，省去繁琐的多步书写。

5. 配对系统法（Pairing Trick）#

当单个积分难以独立求解时，构造对称伴随积分联立求解：

• 例：求 $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x$ 与 $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x$： $$\begin{cases} I + J = \int 1\,\mathrm{d}x = x + C_1 \\[1.5ex] J - I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sin x + \cos x\rvert + C_2 \end{cases}$$ 联立相加减即可直接解出 $I$ 与 $J$。

6. 万能代换与对称简化（Weierstrass Substitution）#

• 标准万能代换： 令 $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$，则： $$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \mathrm{d}x = \frac{2}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$$
• 降次优化：若被积函数满足 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$（偶次同号），改用 $t = \tan x$ 可直接省去半角降次过程： $$\sin^2 x = \frac{t^2}{1 + t^2}, \quad \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2}, \quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2}$$

7. 遮蔽法（Heaviside Cover-up Method）#

用于真分式部分分式分解时的系数秒杀。对于无重根分母：

求系数 $A_i$ 时，在原式左侧遮住因子 $(x - x_i)$，其余项代入 $x = x_i$：

8. 费曼积分法（含参变量积分号下求导）#

处理带有阻碍项（如分母有 $x$）的定积分：

1. 引入参数：构造含参积分 $I(\alpha) = \int_a^b f(x, \alpha)\,\mathrm{d}x$。
2. 求导消项： $$I'(\alpha) = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha} f(x, \alpha)\,\mathrm{d}x$$ 利用对参数 $\alpha$ 求导对消分母中的奇异项 $x$。
3. 完成求积：求出 $I'(\alpha)$ 的初等表达式。
4. 积分还原：对 $\alpha$ 积分得到 $I(\alpha) + C$，代入初值 $\alpha_0$ 确定积分常数。

基本原理#

实部 $\Re$ 和虚部 $\Im$ 算子是实线性映射。要让求虚部与积分交换次序，即：

本质上是线性算子与积分（极限）能否交换次序的问题。满足以下任一条件即可：

• 有限区间上的常规黎曼积分： 只要复值函数 $f(x) = u(x) + i v(x)$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积，其本质定义就是：

根据定义，直接恒等成立。

• 无穷区间或瑕积分（反常积分）： 因为反常积分本质是取极限（如 $\lim_{A \to \infty} \int_0^A$），若复积分 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 收敛（最稳妥的是绝对收敛，即 $\int_a^\infty \vert{}f(x)\vert{} \, dx < \infty$），则极限与连续映射 $\Im$ 可以交换：

• 测度论与勒贝格积分视角： 若 $f \in L^1([a, \infty))$（即模长勒贝格可积），直接由勒贝格积分对实部、虚部分解的线性定义即可交换。

反例（不可直接交换的情况）：

若复积分本身发散，或者虚部、实部的反常积分仅在柯西主值意义下存在，极限不满足收敛性条件时不可随意交换。例如当 $\alpha \le 0$ 时，$\int_0^\infty e^{(i-\alpha)x} dx$ 发散，此步骤不再成立。

例题#

设实数 $\alpha > 0$，计算积分：

利用欧拉公式 $sin x = \Im \left( e^{ix} \right)$（$\Im$ 表示取复数的虚部）：

• $\Im$ 的含义：表示取复数的虚部（$\text{Im}$，LaTeX 中记作 \Im）。

由于虚部运算与对实变量 $x$ 的积分可交换次序（假设实数 $\alpha > 0$）：

计算积分

莱布尼茨积分法则#

若积分上下限均为常数，则可以直接简化为直接交换积分和求导顺序：

核心思想#

1. 构造含参积分 $I(\alpha)$，使得目标积分为某个特定参数值（如 $\alpha = 0$ 或 $\alpha = 1$），且存在一个极易计算的基准初值，用于确定积分常数（通常为 $I(0) = 0$ 或 $\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = 0$）。

2. 在积分号下对参数 $\alpha$ 求导，消去原积分中难以处理的项（如分母中的 $x$ 或根号），得到一个更易计算的积分。

3. 完成简化后的单变量积分，得到导函数 $I'(\alpha)$ 的闭式表达式。

4. 对 $\alpha$ 积分得到 $I(\alpha)$ 的表达式，并代入初值确定积分常数，最终得到原积分的结果。

示例#

计算积分：

构造收敛因子 $e^{-\alpha x}$：

原式等价于 $I(0)$。

由 复指数函数求解含三角函数的积分处 例题可知：

对其积分得

为了确定常数 $C$，考虑 $\alpha \to \infty$ 时，积分 $I(\alpha)$的取值：

• 从定义：

  $$\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = \lim_{\alpha \to \infty} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} e^{-\alpha x} \, dx = 0$$

• 从积分表达式：

  $$\lim_{\alpha \to \infty} I(\alpha) = \lim_{\alpha \to \infty} \left( -\arctan(\alpha) + C \right) = -\frac{\pi}{2} + C$$

故 $C = \dfrac \pi 2$