等比级数#

• $|r| < 1$ 时收敛，和为 $\dfrac{a}{1-r}$；$|r| \geq 1$ 时发散。

调和级数#

• 发散

$p$ 级数#

• 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。

收敛必要条件#

若级数 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

柯西收敛准则#

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件为：$\forall \varepsilon > 0$，总存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对于任意的自然数 $p$，都有

成立。

极限比较判别法#

设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数，且

则

1. 若 $0 < k < +\infty$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 与 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 同时收敛或同时发散；

2. 若 $k = 0$，则当 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛；

3. 若 $k = +\infty$，则当 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散。

比值判别法#

若对正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 有

则

1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛；

2. 当 $\rho > 1 \left( \text{或} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = +\infty \right)$ 时，级数发散；

3. 当 $\rho = 1$ 时，级数可能收敛，也可能发散。

根值判别法#

若对正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 有

则

1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛；

2. 当 $\rho > 1 \left( \text{或} \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = +\infty \right)$ 时，级数发散；

3. 当 $\rho = 1$ 时，级数可能收敛，也可能发散。

积分判别法#

设 $f(x)$ 为定义在 $[1, +\infty)$ 上的非负单调递减函数，那么正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ 与反常积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ 具有相同的敛散性。

Leibniz’s rule#

设 $u_n > 0\ (n = 1, 2, 3, \cdots)$，如果交错级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$ 满足条件：

1. $u_n \geqslant u_{n+1} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$；

2. $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$，

则交错级数收敛，且其和 $s \leqslant u_1$，其余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n| \leqslant u_{n+1}$。

绝对收敛与条件收敛#

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，则称级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛；如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，而级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，则称级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛。

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 必定收敛。

阿贝尔定理（收敛域性质）#

若幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ 在 $x = x_0\ (x_0 \ne 0)$ 处收敛，则对满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$，该级数绝对收敛；反之，若级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ 在 $x = x_0$ 处发散，则对满足 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$，该级数也发散。

收敛半径计算#

若 $\lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$，则幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径

和函数的分析性质#

设幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 上的和函数为 $s(x)$，若 $x$ 为 $(-R, R)$ 内任意一点，则

1. $s(x)$ 在 $x$ 可导，且

   $$s'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1};$$

2. $s(x)$ 在 $0$ 与 $x$ 构成的区间上可积，且

   $$\int_0^x s(t) \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n + 1} x^{n+1}.$$