高数B（下）- 2 - dk-qwq blog

向量微分算子#

散度#

$F = F_x \boldsymbol{i} + F_y \boldsymbol{j} + F_z \boldsymbol{k}$

\operatorname{div} \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_x, F_y, F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

区别于 $\nabla F$

旋度#

\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}

积分分类、转化与联系#

第一类/第二类积分区分#

曲线积分：
- 第一类： $\int_L f(x, y) \, ds$
- 第二类： $\int_L P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy$
曲面积分：
- 第一类： $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS$
- 第二类： $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \, dy dz + Q(x, y, z) \, dz dx + R(x, y, z) \, dx dy$

两类曲线/曲面积分之间的联系#

\int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = \int_L (P \cos\alpha + Q \cos\beta) \, \mathrm{d}s \tag{11-7-1}

\iint_{\Sigma} P \, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_L (P \cos\alpha + Q \cos\beta + R \cos\gamma) \, \mathrm{d}s \tag{11-7-6}

积分降维与计算#

积分变换#

设变换公式为 $x = x(u, v),\ y = y(u, v)$ ，将平面区域 $D$ 映射为 $uv$ 平面上的区域 $D'$ ：

\iint_D f(x, y) \, dx dy = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot \vert{}J\vert{} \, du dv

其中 $J$ 为雅可比行列式（Jacobian）：

J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}

面积微元关系： $dx dy = \vert{}J\vert{} \, du dv$ 。

常用特例：极坐标变换

适用于积分区域为圆形/扇形/环形或被积函数含 $x^2 + y^2$ 的情形：
$\iint_D f(x, y) \, dx dy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr d\theta$

曲线积分#

\int_{L} f(x, y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \, dt

曲面积分#

\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx dy

第二类曲线积分的计算#

设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在有向光滑曲线弧 $L$ 上有定义且连续， $L$ 的参数方程为

x = \varphi(t), \quad y = \psi(t).

曲线积分

\begin{aligned} &\int_L P(x, y) \, \mathrm{d}x + Q(x, y) \, \mathrm{d}y \\ = &\int_\alpha^\beta (P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)) \, \mathrm{d}t. \end{aligned} \tag{11-2-1}

反常积分#

无界区域反常积分（无穷限积分）#

设 $f(x, y)$ 在无界区域 $D$ 上连续，若存在 $\rho_0 > 0$ ，使当 $\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \geqslant \rho_0$ 且 $(x, y) \in D$ 时，有

|f(x, y)| \leqslant \frac{M}{\rho^\alpha},

其中 $M$ 与 $\alpha$ 均为常数，则当 $\alpha > 2$ 时，反常二重积分 $\iint\limits_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma$ 收敛。

有界函数反常积分（瑕积分）#

设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上除 $P_0(x_0, y_0)$ 外处处连续，且当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时， $f(x, y) \to \infty$ 。若不等式

|f(x, y)| \leqslant \frac{M}{\rho^\alpha}

在 $D$ 上除点 $(x_0, y_0)$ 外处处成立，其中 $M$ 与 $\alpha$ 均为常数，且

\rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2},

则当 $\alpha < 2$ 时，反常二重积分 $\iint\limits_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma$ 收敛。

全微分方程#

\mathrm{d}u = P(x, y) \, \mathrm{d}x + Q(x, y) \, \mathrm{d}y

u(x, y) = \int_{x_0}^x P(x, y_0) \, \mathrm{d}x + \int_{y_0}^y Q(x, y) \, \mathrm{d}y \tag {11-3-9}

积分核心方向规则与四大定理#

各类积分定理中，方向的匹配由以下右手定则与几何准则统一约束：

积分类型 / 定理	几何对象	正方向判定规则	典型公式
定积分 / 变限积分	一维区间 $[a, b]$	从下限到上限为正；上下限对调变号。	$\int_b^a f(x)\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
格林公式 (Green)	平面闭曲线 $L$ 围成区域 $D$	左侧法则：沿路径前进时，区域 $D$ 始终在前进方向的左侧（单连通域即逆时针）。	$\oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
高斯公式 (Gauss)	空间封闭曲面 $\Sigma$ 包围立体 $\Omega$	取外侧法向量（ $\vec{n}$ 指向立体外部）为正方向。若取内侧需加负号。	$\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_\Omega (\nabla \cdot \vec{F})\mathrm{d}V$
斯托克斯公式 (Stokes)	空间有向曲面 $\Sigma$ 与其边界 $\Gamma$	右手定则：右手四指沿边界 $\Gamma$ 方向弯曲，大拇指指向曲面 $\Sigma$ 的法向量正侧。	$\oint_\Gamma \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot \mathrm{d}\vec{S}$

格林公式#

设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y, \tag{11-3-1}

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。

路径无关条件#

设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内有连续偏导数，则下列条件相互等价：

对 $D$ 中任一分段光滑曲线 $L$ ，曲线积分 $\int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y$ 与路径无关，只与 $L$ 的起点与终点有关；
沿 $D$ 中任一分段光滑的闭曲线 $L$ ，有
$\oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = 0;$
在 $D$ 内 $P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y$ 是 $D$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即在 $D$ 内存在函数 $u(x, y)$ ，使得
$\mathrm{d}u = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y;$
在 $D$ 内每点处有 $\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 。

高斯公式#

设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成，函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 及 $\Sigma$ 上具有关于 $x, y, z$ 的连续偏导数，则有

\iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d} v = \oiint_\Sigma P \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \tag{11-6-1}

这里 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 整个边界曲面的外侧。

或者

\iiint_\Omega \operatorname{div} \boldsymbol{F} \, \mathrm{d}v = \oiint_\Sigma \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}\boldsymbol{S}

斯托克斯 (Stokes) 公式#

设分片光滑的曲面 $\Sigma$ 的边界是分段光滑闭曲线 $\Gamma$ ，函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 及其偏导数在曲面 $\Sigma$ 上连续，则

\begin{aligned} &\oint_\Gamma P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z \\ &= \iint_\Sigma \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{aligned} \tag{11-6-4}

这里有向曲面 $\Sigma$ 的正向与曲线 $\Gamma$ 的正向符合右手法则。

为了便于记忆，可把公式 (11-6-4) 写成

\oint_\Gamma P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} \mathrm{d}y \mathrm{d}z & \mathrm{d}z \mathrm{d}x & \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\[1.5ex] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[2.5ex] P & Q & R \end{vmatrix}.

或

\oint_{\partial\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S.

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