高数B（下）- 1 - dk-qwq blog

向量与空间解析几何#

统一使用右手直角坐标系，红色箭头代表绕 $z$ 轴的正旋转方向

向量代数基础#

\theta = (\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}}), \quad 0 \leq \theta \leq \pi

向量 $\overrightarrow{AB}$ 在 $x$ 轴上的投影等于向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模乘以 $x$ 轴与向量 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦，即

\mathrm{Prj}_x \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}| \cos\alpha.

\mathrm{Prj}_x (\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2) = \mathrm{Prj}_x \boldsymbol{a}_1 + \mathrm{Prj}_x \boldsymbol{a}_2.

\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}| (\cos \alpha \boldsymbol{i} + \cos \beta \boldsymbol{j} + \cos \gamma \boldsymbol{k}) \tag{7-2-2}

|\boldsymbol{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \tag{7-2-3}

\begin{cases} \cos\alpha = \dfrac{a_x}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}}, \\ \cos\beta = \dfrac{a_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}}, \\ \cos\gamma = \dfrac{a_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}}. \end{cases} \tag{7-2-4}

其中 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

\boldsymbol{e}_a = \cos\alpha \boldsymbol{i} + \cos\beta \boldsymbol{j} + \cos\gamma \boldsymbol{k}.

\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}}) = |\boldsymbol{a}| \mathrm{Prj}_a \boldsymbol{b}.

数量积满足下列运算性质 ( $\lambda$ 为实数)：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a};$
$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c};$
$(\lambda\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot (\lambda\boldsymbol{b}).$

由数量积的定义，容易得出下面的结论：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2;$
两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 互相垂直的充要条件是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0.$

设

\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{b} = b_x \boldsymbol{i} + b_y \boldsymbol{j} + b_z \boldsymbol{k}.

有

\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

向量积满足下列规律 ( $\lambda$ 为实数)：

$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a};$
$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c};$
$(\lambda\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \times (\lambda\boldsymbol{b}) = \lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}).$

由向量积的定义，容易得出下面的结论：

$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ ;
两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 互相平行的充要条件是 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ .

设 $\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}, \ \boldsymbol{b} = b_x \boldsymbol{i} + b_y \boldsymbol{j} + b_z \boldsymbol{k}$ ，则

\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.

平面#

向量点积方程：

平面上任意一点 $P( \boldsymbol{r} )$ 与 $P_0(\boldsymbol{r}_0)$ 的向量 $\overrightarrow{P_0 P} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0$ 必垂直于平面的法向量 $\boldsymbol{n}$ ，即
$\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = 0$
点法式方程：
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

直线#

向量参数方程：

确定一条直线需要：已知一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ （位置向量 $\boldsymbol{r}_0$ ）和方向向量 $\boldsymbol{v} = (m, n, p)$ 。
$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + t \boldsymbol{v} \quad (t \in \mathbb{R})$
或
$x = x_0 + mt, \quad y = y_0 + nt, \quad z = z_0 + pt. \tag{7-3-9}$
点向式（对称式）方程：
$\frac {x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}. \tag{7-3-8}$

直线与平面的空间位置关系#

两者之间的组合平行垂直关系可由方向向量 $\boldsymbol{v}$ 与法向量 $\boldsymbol{n}$ 的点积或叉积来判断
两平面或直线夹角 $\cos \theta = \frac {| \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 |}{|\boldsymbol{n}_1| |\boldsymbol{n}_2|}$
线面夹角 $\sin \varphi = \frac {|\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{n}|}$

曲线的切线#

\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0, \end{cases}

的切线方程为

\frac {x - x_0} {1} = \frac {y - y_0} {y'(x_0)} = \frac {z - z_0} {z'(x_0)}

导数部分可用 Cramer’s rule 解偏导方程组

曲面的切平面与法线#

设曲面 $\Sigma$ 的方程为 $F(x, y, z) = 0$ ，则其切平面方程为：

F'_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F'_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0. \tag {9-2-1}

法线方程为：

\frac{x - x_0}{F'_x} = \frac{y - y_0}{F'_y} = \frac{z - z_0}{F'_z}. \tag{9-2-2}

若曲面以显函数形式给出，即 $z = f(x, y)$ ，则其切平面方程为：

f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0

法线方程为：

\frac{x - x_0}{f'_x} = \frac{y - y_0}{f'_y} = \frac{z - z_0}{-1}

空间曲面的面积#

A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx dy

旋转变换#

标准 2D 逆时针旋转矩阵为：

\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

绕某个轴旋转将对应行列填为 $1$ , 主子矩阵填上上述旋转矩阵即可。

绕 $x$ -轴的主动旋转定义为：
$\mathcal{R}_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix}$
绕 $y$ -轴的主动旋转定义为：
$\mathcal{R}_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y \end{bmatrix}$
绕 $z$ -轴的主动旋转定义为：
$\mathcal{R}_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕轴旋转/旋转体生成#

将坐标轴分为两部分：

轴向坐标（主元 $u$ ）：选定的坐标轴对应的坐标
径向坐标（副元 $v_1, v_2$ ）：垂直于该旋转轴的两个坐标，点到该轴的垂直距离为 $r = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ 。

已知图形满足方程 $F(u, v) = 0$ （其中 $v$ 为某一垂直分量）：绕 $u$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，方程恒为：

F(u, \pm \sqrt {v_1^2 + v_2^2}) = 0

绕任意轴的话使用旋转变化矩阵 $\mathcal{R}$ 将该轴旋转到 $x$ 轴上，旋转后再使用上述方法，最后再将旋转后的结果逆旋转回去即可。

投影#

设空间曲线由两曲面交线给出：

C: \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}

投影柱面：消去目标坐标面对应的变量（例如消去 $z$ ），得到只含 $x, y$ 的方程 $H(x, y) = 0$ 。在三维空间中，它表示母线平行于 $z$ 轴、准线为投影线的投影柱面。
投影曲线：曲线在坐标面（如 $xOy$ 面）上的投影是投影柱面与坐标平面的交线，必须写成方程组形式：

C_{xOy}: \begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}

多元函数微分学#

二元函数极限的路径判定法#

设 $\boldsymbol{\gamma}: [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ 为平面上任意连续路径，满足：

\lim_{t \to 0^+} \boldsymbol{\gamma}(t) = (x_0, y_0), \quad \text{且 } \boldsymbol{\gamma}(t) \neq (x_0, y_0) \quad (\forall t > 0)

极限存在的充要条件是：对所有满足上述条件的任意路径 $\boldsymbol{\gamma}(t)$ ，沿该路径的一元复合函数极限均存在且相等：

\lim_{t \to 0^+} f(\boldsymbol{\gamma}(t)) = L

建议证明极限不存在随便选几个形如 $\boldsymbol{\gamma}_\theta(r) = (x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta)$ 的趋近路径

偏导数#

\text{偏导数连续} \implies \text{可微} \implies \begin{cases} \text{连续} \\ \text{方向导数存在} \implies \text{偏导数存在} \end{cases}

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 的最弱充分条件为：一阶偏导存在，且只需要其中一个混合偏导数在 $P_0$ 处连续。

梯度#

函数 $u = f(x, y, z)$ 在点 $P_0$ 处的梯度是一个向量，记作 $\mathbf{grad} f$ 或 $\nabla f$ ：

\mathbf{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

梯度与方向导数的关系：方向导数本质上是梯度向量在单位方向向量 $\boldsymbol{e}_l$ 上的投影：

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}_l = |\nabla f| \cos\theta

当 $\boldsymbol{e}_l$ 与 $\nabla f$ 同向（ $\theta = 0$ ）时，方向导数最大，最大值等于梯度的模长 $|\nabla f|$ 。

方向导数#

若函数 $u = f(x, y, z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微，则函数 $f$ 在 $P_0$ 处沿任意方向 $\boldsymbol{e}_l$ 的方向导数存在，且有以下的求导公式：

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} = \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{P_0} \cos\alpha + \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{P_0} \cos\beta + \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{P_0} \cos\gamma, \tag{9-3-1}

全微分#

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则其全微分为：

dz = \dfrac {\partial z}{\partial x} dx + \dfrac{\partial z}{\partial y} dy

隐函数导数#

二元函数#

设二元函数 $F(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有连续偏导数，如果

$F(x_0, y_0) = 0$ ;
$\left.\dfrac{\partial F}{\partial y}\right|_{P_0} \ne 0$ ,

则方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内确定唯一的连续函数 $y = f(x)$ ，且具有连续导数，它满足 $y_0 = f(x_0)$ ，并有

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F'_x}{F'_y}. \tag{8-6-1}

三元函数#

设三元函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$ ， $F'_z(x_0, y_0, z_0) \ne 0$ ，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$ ，它满足条件 $z_0 = f(x_0, y_0)$ ，并有

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}. \tag{8-6-2}

方程组的情形#

Cramer’s rule
考虑由 $n$ 个未知数组成的 $n$ 元线性方程组，其矩阵乘法形式如下：
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
其中向量 $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T}$
$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad i = 1, \ldots, n$
其中 $A_i$ 是将矩阵 $A$ 的第 $i$ 列替换为列向量 $\mathbf{b}$ 所得到的矩阵。

设有方程组

\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0, \\ G(x, y, u, v) = 0, \end{cases} \tag{8-6-3}

\left\{ \begin{aligned} F'_x + F'_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + F'_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0, \\ G'_x + G'_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + G'_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0, \end{aligned} \right. \quad \implies \left\{ \begin{aligned} F'_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + F'_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = - F'_x, \\ G'_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + G'_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = - G'_x, \end{aligned} \right.

\begin{bmatrix} F'_u & F'_v \\[2.2ex] G'_u & G'_v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} \\[2.2ex] \dfrac{\partial v}{\partial x} \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} F'_x \\[2.2ex] G'_x \end{bmatrix}

使用克莱姆法则可得，这里不展开赘述其以及雅可比行列式的方法。

注意不要忘记负号即可

多元函数极值#

将 $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的一阶偏导数全为 $0$ 的点称为 $f$ 的驻点。

设二元函数 $z = f(x, y)$ 在开区域 $G \subset \mathbf{R}^2$ 内有二阶连续偏导数， $(x_0, y_0) \in G$ 是 $f$ 的驻点，令

\begin{aligned} f''_{xx}(x_0, y_0) &= A, \\ f''_{xy}(x_0, y_0) &= B, \\ f''_{yy}(x_0, y_0) &= C, \end{aligned}

则

当 $AC - B^2 > 0$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 取得极值，且当 $A < 0$ 时取极大值，当 $A > 0$ 时取极小值；
当 $AC - B^2 < 0$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 不取极值；
当 $AC - B^2 = 0$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 可能有极值，也可能没有极值。

条件极值#

考虑极值问题：

\begin{align} \min(\text{or } \max) f = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \text{s.t. } \begin{cases} \varphi_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0, \\ \varphi_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0, \\ \vdots \\ \varphi_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0, \end{cases} \end{align}

定义：

\mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \langle \lambda, \varphi(x) \rangle

其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示内积。

$f$ 在约束 $\varphi$ 下的极值点 $x^*$ 必须满足：

\frac {\partial \mathcal{L}} {\partial x} = 0 \quad \text{and} \quad \frac {\partial \mathcal{L}} {\partial \lambda} = 0