向量代数基础#

向量 $\overrightarrow{AB}$ 在 $x$ 轴上的投影等于向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模乘以 $x$ 轴与向量 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦，即

其中 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

数量积满足下列运算性质 ($\lambda$ 为实数)：

1. $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a};$

2. $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c};$

3. $(\lambda\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot (\lambda\boldsymbol{b}).$

由数量积的定义，容易得出下面的结论：

1. $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2;$

2. 两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 互相垂直的充要条件是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0.$

设

有

向量积满足下列规律 ($\lambda$ 为实数)：

1. $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a};$

2. $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c};$

3. $(\lambda\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \times (\lambda\boldsymbol{b}) = \lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}).$

由向量积的定义，容易得出下面的结论：

1. $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$;

2. 两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 互相平行的充要条件是 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$.

设 $\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}, \ \boldsymbol{b} = b_x \boldsymbol{i} + b_y \boldsymbol{j} + b_z \boldsymbol{k}$，则

平面#

• 向量点积方程：

  平面上任意一点 $P( \boldsymbol{r} )$ 与 $P_0(\boldsymbol{r}_0)$ 的向量 $\overrightarrow{P_0 P} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0$ 必垂直于平面的法向量 $\boldsymbol{n}$，即

  $$\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = 0$$

• 点法式方程：

  $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

直线#

• 向量参数方程：

  确定一条直线需要：已知一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$（位置向量 $\boldsymbol{r}_0$）和方向向量 $\boldsymbol{v} = (m, n, p)$。

  $$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + t \boldsymbol{v} \quad (t \in \mathbb{R})$$

  或

  $$x = x_0 + mt, \quad y = y_0 + nt, \quad z = z_0 + pt. \tag{7-3-9}$$

• 点向式（对称式）方程：

  $$\frac {x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}. \tag{7-3-8}$$

直线与平面的空间位置关系#

• 两者之间的组合平行垂直关系可由方向向量 $\boldsymbol{v}$ 与法向量 $\boldsymbol{n}$ 的点积或叉积来判断

• 两平面或直线夹角 $\cos \theta = \frac {| \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 |}{|\boldsymbol{n}_1| |\boldsymbol{n}_2|}$

• 线面夹角 $\sin \varphi = \frac {|\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{n}|}$

曲线的切线#

的切线方程为

导数部分可用 Cramer’s rule 解偏导方程组

曲面的切平面与法线#

设曲面 $\Sigma$ 的方程为 $F(x, y, z) = 0$，则其切平面方程为：

法线方程为：

若曲面以显函数形式给出，即 $z = f(x, y)$，则其切平面方程为：

法线方程为：

空间曲面的面积#

旋转变换#

标准 2D 逆时针旋转矩阵为：

绕某个轴旋转将对应行列填为 $1$, 主子矩阵填上上述旋转矩阵即可。

• 绕 $x$-轴的主动旋转定义为：

  $$\mathcal{R}_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix}$$

• 绕 $y$-轴的主动旋转定义为：

  $$\mathcal{R}_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y \end{bmatrix}$$

• 绕 $z$-轴的主动旋转定义为：

  $$\mathcal{R}_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

绕轴旋转/旋转体生成#

将坐标轴分为两部分：

1. 轴向坐标（主元 $u$）：选定的坐标轴对应的坐标
2. 径向坐标（副元 $v_1, v_2$）：垂直于该旋转轴的两个坐标，点到该轴的垂直距离为 $r = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$。

已知图形满足方程 $F(u, v) = 0$（其中 $v$ 为某一垂直分量）： 绕 $u$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，方程恒为：

绕任意轴的话使用旋转变化矩阵 $\mathcal{R}$ 将该轴旋转到 $x$ 轴上，旋转后再使用上述方法，最后再将旋转后的结果逆旋转回去即可。

投影#

设空间曲线由两曲面交线给出：

1. 投影柱面： 消去目标坐标面对应的变量（例如消去 $z$），得到只含 $x, y$ 的方程 $H(x, y) = 0$。在三维空间中，它表示母线平行于 $z$ 轴、准线为投影线的投影柱面。
2. 投影曲线： 曲线在坐标面（如 $xOy$ 面）上的投影是投影柱面与坐标平面的交线，必须写成方程组形式：

二元函数极限的路径判定法#

设 $\boldsymbol{\gamma}: [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ 为平面上任意连续路径，满足：

极限存在的充要条件是：对所有满足上述条件的任意路径 $\boldsymbol{\gamma}(t)$，沿该路径的一元复合函数极限均存在且相等：

• 建议证明极限不存在随便选几个形如 $\boldsymbol{\gamma}_\theta(r) = (x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta)$ 的趋近路径

偏导数#

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 的最弱充分条件为：一阶偏导存在，且只需要其中一个混合偏导数在 $P_0$ 处连续。

梯度#

函数 $u = f(x, y, z)$ 在点 $P_0$ 处的梯度是一个向量，记作 $\mathbf{grad} f$ 或 $\nabla f$：

梯度与方向导数的关系： 方向导数本质上是梯度向量在单位方向向量 $\boldsymbol{e}_l$ 上的投影：

当 $\boldsymbol{e}_l$ 与 $\nabla f$ 同向（$\theta = 0$）时，方向导数最大，最大值等于梯度的模长 $|\nabla f|$。

方向导数#

若函数 $u = f(x, y, z)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微，则函数 $f$ 在 $P_0$ 处沿任意方向 $\boldsymbol{e}_l$ 的方向导数存在，且有以下的求导公式：

全微分#

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则其全微分为：

隐函数导数#

多元函数极值#

将 $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的一阶偏导数全为 $0$ 的点称为 $f$ 的驻点。

设二元函数 $z = f(x, y)$ 在开区域 $G \subset \mathbf{R}^2$ 内有二阶连续偏导数，$(x_0, y_0) \in G$ 是 $f$ 的驻点，令

则

1. 当 $AC - B^2 > 0$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 取得极值，且当 $A < 0$ 时取极大值，当 $A > 0$ 时取极小值；

2. 当 $AC - B^2 < 0$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 不取极值；

3. 当 $AC - B^2 = 0$ 时，$f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 可能有极值，也可能没有极值。