大物（上）- 2 - dk-qwq blog

刚体的定轴转动#

物理量 / 定理	质点运动 (平动)	刚体定轴转动 (转动)
速度 / 角速度	$\boldsymbol{v} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}$	$\boldsymbol{\omega} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}}{\mathrm{d}t}$
加速度 / 角加速度	$\boldsymbol{a} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}$	$\boldsymbol{\alpha} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}$
惯性量度	质量 $m$	转动惯量 $J = \displaystyle\int r^2 \mathrm{d}m$
动力学作用量	力 $\boldsymbol{F}$	力矩 $\boldsymbol{M}$
动力学基本方程	$\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$	$\boldsymbol{M} = J\boldsymbol{\alpha}$
动量 / 角动量	$\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$	$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega}$
动量 / 角动量定理	$\boldsymbol{F} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}$	$\boldsymbol{M} = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}$
功的计算	$W = \displaystyle\int \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$	$W = \displaystyle\int \boldsymbol{M} \cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}$
功率	$P = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}$	$P = \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega}$
动能 (标量形式)	$E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$	$E_k = \dfrac{1}{2}J\omega^2$
动能定理	$W = \dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{1}{2}mv_1^2$	$W = \dfrac{1}{2}J\omega_2^2 - \dfrac{1}{2}J\omega_1^2$

当质点或系统受到的合外力矩 $\boldsymbol{M}_{\text{ext}} = \mathbf{0}$ 时，

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{J} \boldsymbol{\omega} = \text{常矢量}

图形	描述	转动惯量
	细棒，长为 $L$ ，质量为 $m$ （轴过中心）	$J_{\text{center}} = \dfrac{mL^2}{12}$
	细棒，长为 $L$ ，质量为 $m$ （轴过一端）	$J_{\text{end}} = \dfrac{mL^2}{3}$
	两端开通的薄圆柱壳，半径为 $r$ ，质量为 $m$	$J = mr^2$
	实心圆柱，半径为 $r$ ，高为 $h$ ，质量为 $m$	$J_z = \dfrac{mr^2}{2}$
	两端开通的厚圆柱，内半径为 $r_1$ ，外半径为 $r_2$ ，高为 $h$ ，质量为 $m$	$J_z = \dfrac{m}{2}\left(r_1^2 + r_2^2\right)$
	实心球，半径为 $r$ ，质量为 $m$	$J = \dfrac{2mr^2}{5}$

角频率与系统参数： $\omega^2 = \frac k m$ ，其中 $k$ 为弹性系数， $m$ 为振子质量
位移方程： $x = A \cos (\omega t + \varphi)$
周期与频率：
- 周期： $T = \dfrac {2 \pi} {\omega}$
- 频率： $\nu = \frac 1 T = \frac \omega {2 \pi}$
由初始条件确定振幅与初相： $A = \sqrt{x_0^2 + \dfrac {v_0^2} {\omega^2}} \quad \tan \varphi = -\dfrac {v_0} {\omega x_0}$

\begin{cases} E_k = \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi) \\[1ex] E_p = \dfrac{1}{2} k x^2 = \dfrac{1}{2} k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi) \end{cases}

E = E_k + E_p = \dfrac{1}{2} k A^2

\begin{cases} A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} \\[1ex] \tan \varphi_0 = \dfrac {A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2} {A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2} \end{cases}

若相位差 $(\varphi_2 - \varphi_1) = 2 k \pi \, (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2} = A_1 + A_2$
若相位差 $(\varphi_2 - \varphi_1) = (2k + 1) \pi \, (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2} = |A_1 - A_2|$

y = A \cos ({\omega (t - \dfrac x u) + \varphi})