理想气体状态方程#

• 物态方程： $pV = \nu RT$

  其中物质的量 $\nu = \dfrac{N}{N_{\mathrm{A}}}$，普适气体常量 $R = 8.31 \, \mathrm{J/(mol\cdot K)}$。

压强的微观本质与温度解释#

• 分子平均平动动能:

  $$\overline{\varepsilon}_{\mathrm{k}} = \frac 1 2 m \overline{v^2}$$

• 压强公式：

  $$p = \frac{2}{3} n \overline{\varepsilon}_{\mathrm{k}} = \frac 1 3 \rho \overline {v^2}$$

  其中 $n$ 为单位体积分子数

• 温度的微观本质：

  $$\begin{cases} p = n k T \\[1ex] p = \dfrac{2}{3} n \left( \dfrac{1}{2} m \overline{v^2} \right) \end{cases} \implies \frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T$$

  气体分子的平均平动动能与气体的温度成正比

热力学第一定律#

• 体积功：

  $$W = \int p \, \mathrm{d} V$$

• 内能增量：

  $$\Delta E = \nu \dfrac i 2 R \Delta T$$

• 第一定律表达式：

  $$Q = \Delta E + W$$

  系统从外界吸收的热量，一部分使系统内能增加，另一部分使系统对外界做功

四大准静态过程对比#

• 绝热过程状态方程：$pV^\gamma = \text{常量}$、$V^{\gamma - 1}T = \text{常量}$、$p^{\gamma - 1}T^{-\gamma} = \text{常量}$。

• $p\text{-}V$ 图斜率对比：

  $$\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}\right)_T = -\frac{p}{V}, \quad \left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}\right)_a = -\gamma \frac{p}{V}$$

因为 $\gamma > 1$，所以在同一点相交时，绝热线比等温线更为陡峭。

循环过程与热机效率#

一热机经过一个正循环后，由于工作物质的内能不改变，它从高温热源吸收的热量 $Q_1$，一部分用于对外做功 $W$，另一部分则向低温热源放热，$Q_2$ 为向低温热源放出的热量。这就是说，热机经历一个正循环后，吸收的热量 $Q_1$ 不能全部转化为功，转化为功的只是 $W = Q_1 - |Q_2|$。

卡诺循环#

由两个等温过程和两个绝热过程组成的理想可逆循环：

• 吸热与放热：

• 卡诺热机效率：

  $$\eta = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$$

• 卡诺制冷机致冷系数：

  $$e = \dfrac {T_2}{T_1 - T_2}$$

卡诺定理#