大物（上）- 1 - dk-qwq blog

量纲分析#

\dim \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{L}^p \boldsymbol{M}^q \boldsymbol{T}^s

基本量纲：长度 $\boldsymbol{L}\ (\mathrm{m})$ ，质量 $\boldsymbol{M}\ (\mathrm{kg})$ ，时间 $\boldsymbol{T}\ (\mathrm{s})$

位置矢量： $\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} +z \boldsymbol{k}\\[1ex]$
位移矢量： $\Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_2 - \boldsymbol{r}_1\\[1ex]$
速度与加速度： $\boldsymbol{v} = \dfrac {\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t},\quad \boldsymbol{a} = \dfrac {\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}$

角速度与线速度： $\boldsymbol{\omega} = \dfrac {\mathrm{d} \boldsymbol{\theta}} {\mathrm{d} t}$ ， $\boldsymbol{v} = r \boldsymbol{\omega}\\[1ex]$
角加速度与切向加速度： $\alpha = \dfrac {\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}} {\mathrm{d} t} = \dfrac {\mathrm{d}^2 \boldsymbol{\theta}} {\mathrm{d} t ^ 2}$ ， $a_t = r \alpha$
加速度矢量分解： $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a_n} + \boldsymbol{a_t} = \dfrac {v^2} {r} \boldsymbol{e_n} + \dfrac {\mathrm{d} v} {\mathrm{d} t} \boldsymbol{e_t}$ 其中 $\boldsymbol{a_n}$ 为法向加速度， $\boldsymbol{a_t}$ 为切向加速度，总加速度与切向夹角： $\tan \varphi = \dfrac {a_n} {a_t}$ 。

讲匀变速直线运动的 $x, v, a$ 替换为 $\theta, \omega, \alpha$ 。

\begin{cases} \boldsymbol{\omega} = \boldsymbol{\omega}_0 + \alpha t \\ \boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\theta}_0 + \boldsymbol{\omega}_0 t + \frac 1 2 \alpha t^2 \\ \boldsymbol{\omega}^2 = \boldsymbol{\omega}_0^2 + 2 \alpha (\boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{\theta}_0) \end{cases}

\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v'} + \boldsymbol{u}

绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度；其中 $\boldsymbol{v}$ 为质点相对于 S 系的速度， $\boldsymbol{u}$ 为 S’ 系相对于 S 系的速度， $\boldsymbol{v'}$ 为质点相对于 S’ 系的速度。

第一定律 (惯性定律)： $\boldsymbol{F} = 0 \, \text{时，} \boldsymbol{v} = \text{常矢量}$
第二定律 (动量变化率形式，最本质形态)： $\boldsymbol{p} = m \boldsymbol{v}$ ， $\boldsymbol{F} = \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\mathrm{d}(m \boldsymbol{v})}{\mathrm{d} t}$
第三定律 (作用与反作用)： $\boldsymbol{F} = - \boldsymbol{F'}$

万有引力与重力加速度： $F = G \dfrac {m_1 m_2} {r^2}$ ， $g = \dfrac {G m_E} {R_E^2}\\[1ex]$
摩擦力： $F_{f0} \leq F_{f0m} = \mu_0 F_N$ ， $F_f = \mu F_N$

\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_i} = m \boldsymbol{a}

其中 $\boldsymbol{F_i}$ 为惯性力。

质点动量定理：
$\boldsymbol{I} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}(t) \, \mathrm{d} t = \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_1 = m \boldsymbol{v}_2 - m \boldsymbol{v}_1$
质点系动量定理：
$\boldsymbol{F}^{ex} = \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}$
其中 $\boldsymbol{F}^{ex}$ 为作用于质点系的合外力。
动量守恒： $\boldsymbol{F}^{ex} = 0$ ， $\boldsymbol{p} =\text{常矢量}$

\boldsymbol{r}_c = \dfrac {\sum m_i \boldsymbol{r}_i} {\sum m_i}

$\mathrm{d} W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}\\[1ex]$
$P = \dfrac {\mathrm{d} W} {\mathrm{d} t} = \boldsymbol{F} \cdot \dfrac {\mathrm{d} \boldsymbol{r}} {\mathrm{d} t} = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}$
动能定理 $W = E_{k2} - E_{k1}$

保守力做功与路径无关，其沿闭合路径积分为零： $W = \oint_L \boldsymbol{F} \cdot \, \mathrm{d} \boldsymbol{r} = 0$ 。

保守力做功等于势能的减少量： $W = - \Delta E_p$ 。

三大保守力做功与对应势能：

物理量 / 类型	功的表达式 $W$	势能表达式 $E_p$
万有引力	$W = G m' m \left(\dfrac{1}{r_B} - \dfrac{1}{r_A}\right)$	$E_p = - G \dfrac{m'm}{r}$
重力	$W = - (m g y_2 - m g y_1)$	$E_p = mgy$
弹性力	$W = - \left(\dfrac{1}{2} k x_2^2 - \dfrac{1}{2} k x_1^2\right)$	$E_p = \dfrac{1}{2} k x^2$

其中 $W^{in}_{nc}$ 为非保守内力